fundamental lemma of calculus of variations

#FUNDAMENTAL LEMMA OF CALCULUS OF VARIATIONS FREE#

Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations.More powerful versions are used when needed. Basic versions are easy to formulate and prove. Several versions of the lemma are in use. The proof usually exploits the possibility to choose δf concentrated on an interval on which f keeps sign (positive or negative).

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The fundamental lemma of the calculus of variations is typically used to transform this weak formulation into the strong formulation (differential equation), free of the integration with arbitrary function.

In mathematics, specifically in the calculus of variations, a variation δf of a function f can be concentrated on an arbitrarily small interval, but not a single point.Accordingly, the necessary condition of extremum (functional derivative equal zero) appears in a weak formulation (variational form) integrated with an arbitrary function δf.

Nach obigem Lemma sind zwei solche Distributionen und genau dann gleich, wenn und fast überall übereinstimmen (zum Beweis betrachte man ).

Für eine unmittelbare Anwendung beachte, dass eine lokal integrierbare Funktion durch die Formel eine Distribution auf definiert. Eine andere, aber insgesamt etwas weiter reichende Version des Fundamentallemmas, welche auch mehrdimensionale Integration einbezieht, lautet wie folgt: Sei eine offene Teilmenge des und sei eine lokal integrierbare Funktion.Es gelte für jede unendlich oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger:Dann gilt fast überall.

In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage: Sei ein kompaktes reelles Intervall und sei eine stetige Funktion.Es gelte für jede stetig differenzierbare Funktion mit :Dann ist die Nullfunktion. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker Paul Dubois-Reymond zugerechnet wird. Es wird manchmal ebenfalls mit Fundamentalsatz der Variationsrechnung benannt, fällt jedoch nicht mit diesem zusammen. In der Variationsrechnung spielt das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung oder Hauptlemma der Variationsrechnung (englisch Fundamental lemma of calculus of variations oder Dubois-Reymond lemma) eine zentrale Rolle.